La Física Teórica actual se caracteriza por lo que se ha dado en llamar un proceso de geometrización. Desde 1905, en que Einstein determinó la estructura geométrica del espacio-tiempo en ausencia de gravitación, este proceso ha avanzado gradualmente para incluir la mecánica clásica (mediante las estructuras simplécticas y de Poisson), la mecánica cuántica (a través de los espacios de Hilbert), la teoría clásica de campos como el electromagnetismo o la de campos cuánticos como QED o QCD (a través de los fibrados principales de norma), o la teoría de gravitación, tanto en su vertiente clásica (geometría de variedades lorenzianas) como cuántica (espumas de espín, cuerdas y supercuerdas, etc.). El sustrato común a todas estas teorías y sus aplicaciones en la moderna física de partículas es el uso de matemáticas avanzadas, principalmente geometría diferencial, teoría de grupos y análisis funcional. Con ellas se exploran y perfilan las propiedades de la naturaleza a su nivel más fundamental. La línea de investigación del posgrado dedicada a estos temas cuenta con un grupo de profesores jóvenes que mantienen estrechas colaboraciones con grupos nacionales y extranjeros, ofreciendo una amplia gama de cursos y temas de posibles tesis.

Los avances tecnológicos en materia de cómputo han impulsado enormemente la investigación en diversas áreas gracias a las posibilidades que ofrecen para realizar experimentos virtuales, donde se reproducen las condiciones reales o ideales de un cierto fenómeno, y a través de los cuales pueden evaluarse y compararse nuevas hipótesis. En este sentido, el estudio de áreas como el análisis numérico, la programación, la optimización y el cómputo estadístico, son de gran importancia dentro de este posgrado. Así mismo, las computadoras son una de las principales plataformas sobre las cuales se pueden desarrollar aplicaciones reales a partir de conceptos abstractos de física y matemáticas, dando lugar a áreas tan diversas como el reconocimiento de patrones, el procesamiento digital de señales e imágenes, cómputo de invariantes en geometría de gráficas, simulaciones en física teórica y bioinformática, entre otros.

En esta LGAC estudiamos, de manera rigurosa, las propiedades topológicas y estadísticas de sistemas dinámicos discretos. Esta temática tiene fuertes interacciones con teoría de la probabilidad (estudio de modelos estocásticos) y mecánica estadística rigurosa (el formalismo termodinámico). En particular nos interesa el formalismo termodinámico de sistemas simbólicos que suelen usarse como modelos de materiales en mecánica estadística. Por otra parte, la teoría de menores de Robertson y Seymour dejó en claro la interacción intrínseca entre la topología en bajas dimensiones y la estructura de los objetos combinatorios más clásicos. En esta dirección, nos interesa estudiar las propiedades topológicas y geométricas de objetos que viven naturalmente en 2 ó 3 dimensiones, con el fin de atacar problemas de naturaleza combinatoria que surgen en el estudio de problemas de optimización y álgebra con aplicaciones a sistemas dinámicos, entre otras áreas.

Esta línea de investigación consiste en el estudio del análisis funcional, tanto en su vertiente pura como la de sus aplicaciones a la física teórica, biología, química, etc. Los temas principales dentro del análisis funcional son: teoría de operadores, teoría espectral, problemas de autovalores, cálculo de variaciones, ecuaciones funcionales, factorización de operadores y matrices, ecuaciones integrales, diferenciales y en diferencias. Los métodos son utilizados en el estudio de problemas matemáticos que surgen en la mecánica cuántica, en particular, en problemas directos e inversos en teoría espectral y teoría de dispersión y para ecuaciones de evolución alineales. Como aplicaciones interesantes, se tienen la propagación de ondas en guías de ondas, así como problemas directos e inversos para la dispersión de ondas acústicas, electromagnéticas y elásticas, o la propagación de ondas en medios estratificados que tienen un fuerte impacto en las matemáticas y la física aplicadas, así como en la ingeniería. El estudio de problemas en la interfaz entre el análisis funcional y la física cuántica es un área de investigación particularmente rica. La comprensión profunda de la estructura matemática de la física cuántica requiere de ideas y métodos matemáticos fundamentalmente nuevos, algunos de los cuales se exploran en el posgrado.